Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(n) tem como solução:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe NP está correta?

  1. AProblemas que não são polinomiais
  2. BProblemas que não podem ser resolvidos em tempo polinomial
  3. CProblemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
  4. DProblemas que nenhum algoritmo consegue resolver
3.Estruturas de dadosMédia

Qual método de resolução de colisões armazena as chaves que colidem em uma lista no mesmo bucket?

  1. ASondagem quadrática (quadratic probing)
  2. BHash duplo (double hashing)
  3. CSondagem linear (linear probing)
  4. DEncadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dadosDifícil

A estrutura union-find (conjuntos disjuntos) com união por posto e compressão de caminho tem custo amortizado por operação de:

  1. AO(n)
  2. BO(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
  3. CExatamente O(log n)
  4. DO(n²)
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 4, 3 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
69611955129ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n log n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Resposta

C · O(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado

Porque é esta a resposta

Num problema NP, uma solução proposta (certificado) pode ser verificada rapidamente, por exemplo, verificar se uma atribuição dada satisfaz uma fórmula booleana.

Resposta

C · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Encadeamento separado (separate chaining)

Porque é esta a resposta

O encadeamento mantém uma lista encadeada (ou outra estrutura) por bucket; o endereçamento aberto procura outra posição livre na própria tabela.

Resposta

D · Encadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante

Porque é esta a resposta

Com as duas otimizações, as operações levam tempo amortizado O(α(n)); α(n) ≤ 4 para qualquer n realista.

Resposta

B · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 23

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 43 = 2(L + 11) − 2
L = 23

Resposta

L = 23

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 20

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 6
C (6): B: 15, E: 17, G: 8
G (8): B: 9, D: 17
B (9): D: 15
D (15): F: 20
E (17)
F (20)

Caminho mais curto

A → C → G → B → D → F
d(F) = 20

Resposta

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms