Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árvore e floresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em K_n: (n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L: (Mᴸ)_ij

Método

Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

AA árvore geradora mínima
BCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
CUma ordenação topológica em todos os grafos
DCaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Um problema é NP-completo se ele:

AÉ impossível de resolver
BEstá em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial
CPode ser resolvido em tempo polinomial
DEstá fora de NP, mas é mais difícil que todos os problemas NP, como o problema da parada

3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a finalidade de um nó sentinela (dummy) em uma lista encadeada?

AManter a lista ordenada
BSimplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
CArmazenar o número de elementos
DImpedir que a lista cresça além de um número máximo fixo de nós

4.Estruturas de dadosDifícil

Que garantia as regras da árvore rubro-negra dão sobre a altura de uma árvore com n chaves?

AA altura é exatamente log₂ n
BA altura é no máximo log₂ n + 1
CA altura é no máximo 2 log₂(n + 1)
DA altura é no máximo n / 2

5.Teoria dos grafosMédia

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 7

1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas

6.Teoria dos grafosDifícil

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F

d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

D · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Está em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Problemas NP-completos são os mais difíceis em NP; um algoritmo polinomial para um deles daria um para todo NP.

Resposta

B · Está em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial

3.Estruturas de dados

Resposta: B · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda

Porque é esta a resposta

Com uma sentinela, todo nó real tem um predecessor, então inserir ou remover na cabeça não exige tratamento especial.

Resposta

B · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda

4.Estruturas de dados

Resposta: C · A altura é no máximo 2 log₂(n + 1)

Porque é esta a resposta

Todo caminho tem o mesmo número de nós pretos e nós vermelhos não podem ser adjacentes, então o caminho mais longo é no máximo o dobro do mais curto, o que dá altura O(log n).

Resposta

C · A altura é no máximo 2 log₂(n + 1)

5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; K_n tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Vértices ímpares

B, D → 2

Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 29

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 10, C: 14

B (10): D: 22

C (14): E: 26, G: 24

D (22): F: 29

G (24)

E (26)

F (29)

Caminho mais curto

A → B → D → F

d(F) = 29

Resposta

d(F) = 29

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