Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

  1. ACaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
  2. BA árvore geradora mínima
  3. CCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
  4. DUma ordenação topológica em todos os grafos
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Tomar as duas extremidades de cada aresta de um emparelhamento maximal dá uma cobertura de vértices. Quão boa é essa cobertura?

  1. ASempre uma cobertura de vértices mínima
  2. BNo máximo log n vezes o mínimo
  3. CDe qualidade desconhecida em relação ao ótimo
  4. DNo máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade uma árvore rubro-negra deve satisfazer?

  1. ATodo nó deve ser vermelho
  2. BTodo nó vermelho deve ter filhos vermelhos, então nós vermelhos sempre formam cadeias ininterruptas até as folhas
  3. CTodo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
  4. DA raiz deve ser vermelha
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 16 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 16
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
112661071412135ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

A · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima

Porque é esta a resposta

As arestas do emparelhamento não compartilham vértices, então o ótimo precisa de pelo menos um vértice por aresta, enquanto esse método toma dois: uma 2-aproximação.

Resposta

D · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

D · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

Porque é esta a resposta

Regras rubro-negras: os nós são vermelhos ou pretos, a raiz é preta, nós vermelhos têm filhos pretos e todos os caminhos têm a mesma altura negra, mantendo a altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Resposta

C · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 16 − 10 = 6

Resposta

k = 6
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 15

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 11, C: 2
C (2): B: 8, E: 12, G: 14
B (8): D: 14
E (12): F: 16
D (14): F: 15
G (14)
F (15)

Caminho mais curto

A → C → B → D → F
d(F) = 15

Resposta

d(F) = 15

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