Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um quicksort usa sempre o primeiro elemento como pivô. Com qual entrada ele apresenta o comportamento de pior caso?

  1. AUm array de tamanho 2
  2. BUm array com todos os elementos diferentes
  3. CUm array que já está ordenado
  4. DUm array em ordem aleatória
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A ordenação topológica só é possível para:

  1. AGrafos com pesos negativos
  2. BGrafos completos
  3. CGrafos acíclicos dirigidos (DAG)
  4. DGrafos não dirigidos
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. AAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  2. BTodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  3. CAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
  4. DTodo nó é colorido de vermelho ou preto
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual estrutura permite calcular o máximo de cada janela de tamanho k em um array em O(n) no total?

  1. AUma lista simplesmente encadeada com os elementos da janela
  2. BUm array ordenado atualizado por deslocamento
  3. CUm deque com índices em ordem decrescente de valor
  4. DUm min-heap reconstruído para cada janela
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K5? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K5
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
201234171415ABCDE

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2; as arestas descartadas não contam.

k = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Um array que já está ordenado

Porque é esta a resposta

Com entrada ordenada, o pivô é sempre o mínimo, então um lado fica vazio e o outro tem n − 1 elementos, o que dá O(n²).

Resposta

C · Um array que já está ordenado
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Grafos acíclicos dirigidos (DAG)

Porque é esta a resposta

Uma ordem topológica existe se e somente se o grafo dirigido não tem ciclos; ela pode ser encontrada em O(V + E) com DFS ou com o algoritmo de Kahn.

Resposta

C · Grafos acíclicos dirigidos (DAG)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

A · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Um deque com índices em ordem decrescente de valor

Porque é esta a resposta

A frente do deque é sempre o máximo da janela; cada índice entra e sai do deque uma vez, então o trabalho é linear.

Resposta

C · Um deque com índices em ordem decrescente de valor
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Resposta

H = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BD

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. BC (3)
2. BD (4)
3. AC (12)
4. DE (14)

número da aresta 2

BD

Resposta

aresta BD

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