Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

É correto dizer que um algoritmo O(n²) também é O(n³)?

  1. ANão, porque n³ é menor que n² para n grande
  2. BNão, porque o O grande deve sempre dar a taxa de crescimento exata da função
  3. CSim, mas só se n for menor que 100
  4. DSim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre P e NP está correta?

  1. AFoi provado que P ≠ NP
  2. BSoluções de problemas NP não podem ser verificadas rapidamente
  3. CNP significa "não polinomial"
  4. DTodo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dadosMédia

Em um min-heap binário armazenado em um array (índices começando em 0), os filhos do nó no índice i estão em:

  1. A2i + 1 e 2i + 2
  2. Bi + 1 e i + 2
  3. C2i e 2i + 1
  4. Di/2 e i/2 + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Um objeto é armazenado como chave em um hash map e depois um campo usado pela sua função hash é alterado. Qual é o resultado provável?

  1. AO map move automaticamente a chave para o novo bucket
  2. BA busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
  3. CNada muda, porque o hash de uma chave é calculado uma só vez, quando o programa começa
  4. DO map lança um erro no momento em que o campo muda
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
1252120131116ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

Porque é esta a resposta

O O grande é um limite superior, então a afirmação é verdadeira, mas não justa; Θ(n²) dá a taxa de crescimento exata.

Resposta

D · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Todo problema em P também está em NP

Porque é esta a resposta

P ⊆ NP: se você consegue resolver um problema rapidamente, consegue verificar uma solução rapidamente. Se P = NP ainda é uma questão em aberto.

Resposta

D · Todo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 2i + 1 e 2i + 2

Porque é esta a resposta

Em arrays indexados a partir de 0, o filho esquerdo fica em 2i + 1, o filho direito em 2i + 2 e o pai em ⌊(i − 1)/2⌋.

Resposta

A · 2i + 1 e 2i + 2
4.Estruturas de dados

Resposta: B · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo

Porque é esta a resposta

A posição da chave foi escolhida pelo hash antigo; com um novo hash, as buscas olham o bucket errado, então as chaves devem ser imutáveis.

Resposta

B · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 2520

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Resposta

H = 2520
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 32

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BD (1): tomar
BC (2): tomar
AC (5): tomar
DF (11): tomar
AB (12): descartar, fecha um ciclo
DE (13): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 5 + 11 + 13 = 32

Resposta

W = 32

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