Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

  1. AEscolher primeiro a atividade mais curta
  2. BEscolher a atividade que começa mais cedo
  3. CEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
  4. DEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual limite está correto para log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a finalidade de um nó sentinela (dummy) em uma lista encadeada?

  1. AManter a lista ordenada
  2. BArmazenar o número de elementos
  3. CSimplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
  4. DImpedir que a lista cresça além de um número máximo fixo de nós
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade uma árvore rubro-negra deve satisfazer?

  1. AA raiz deve ser vermelha
  2. BTodo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
  3. CTodo nó vermelho deve ter filhos vermelhos, então nós vermelhos sempre formam cadeias ininterruptas até as folhas
  4. DTodo nó deve ser vermelho
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
55168714145ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

D · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Θ(n log n)

Porque é esta a resposta

log(n!) ≤ n log n, e os n / 2 maiores fatores dão log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); é por isso que a ordenação por comparação precisa de Ω(n log n).

Resposta

A · Θ(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda

Porque é esta a resposta

Com uma sentinela, todo nó real tem um predecessor, então inserir ou remover na cabeça não exige tratamento especial.

Resposta

C · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

Porque é esta a resposta

Regras rubro-negras: os nós são vermelhos ou pretos, a raiz é preta, nós vermelhos têm filhos pretos e todos os caminhos têm a mesma altura negra, mantendo a altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Resposta

B · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, C, D, G → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 13

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 5
C (5): E: 6
E (6): D: 12, F: 13, G: 11
G (11): B: 25
D (12): B: 17
F (13)
B (17)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 13

Resposta

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms