Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for j = 1 to i: faça trabalho O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n³)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual limite está correto para log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva verificar se a aresta (u, v) existe usando uma matriz de adjacência?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Estruturas de dadosDifícil

Sob hashing uniforme simples, qual é o tempo esperado de uma busca em uma tabela hash com encadeamento, n chaves e m buckets?

  1. AO(1 + α), em que α = n / m
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(m)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
75141410485ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n²)

Porque é esta a resposta

O corpo interno executa n(n + 1) / 2 vezes no total, o que continua sendo quadrático.

Resposta

A · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Θ(n log n)

Porque é esta a resposta

log(n!) ≤ n log n, e os n / 2 maiores fatores dão log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); é por isso que a ordenação por comparação precisa de Ω(n log n).

Resposta

A · Θ(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · O(1)

Porque é esta a resposta

A entrada na linha u, coluna v da matriz diz imediatamente se a aresta existe; uma lista de adjacência pode precisar percorrer os vizinhos de u.

Resposta

A · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(1 + α), em que α = n / m

Porque é esta a resposta

Calcular o hash custa O(1) e o comprimento esperado da cadeia é α, então manter α limitado por redimensionamento dá tempo esperado O(1).

Resposta

A · O(1 + α), em que α = n / m
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1

Vértices ímpares

B, D, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 20

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 7
B (7): C: 12, D: 21, E: 12
C (12)
E (12): F: 20
F (20)
D (21)

Caminho mais curto

A → B → E → F
d(F) = 20

Resposta

d(F) = 20

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