Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Uma função executa um laço de n iterações e depois, separadamente, outro laço de n iterações. Qual é a sua complexidade de tempo?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. An = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
  2. B2n = o(n), porque 2n cresce devagar
  3. Cn = o(n²), mas n não é o(n)
  4. Dn² = o(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados um programa em execução usa para controlar as chamadas de função ativas e suas variáveis locais?

  1. AA fila da memória heap
  2. BUma árvore binária de busca de frames
  3. CUma tabela hash de funções
  4. DA pilha de chamadas
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AGuarda só a primeira letra de cada palavra
  2. BFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
  3. CArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
  4. DOrdena os filhos de cada nó por frequência
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 3
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
25410141392ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

n + n = 2n, e os fatores constantes são descartados, então a função é O(n).

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

C · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · A pilha de chamadas

Porque é esta a resposta

Cada chamada empilha um frame e cada retorno o desempilha, e é por isso que a chamada mais recente termina primeiro.

Resposta

D · A pilha de chamadas
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Resposta

L = 6

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 13

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 2, C: 5
B (2): D: 12, E: 4
E (4): F: 13
C (5)
D (12)
F (13)

Caminho mais curto

A → B → E → F
d(F) = 13

Resposta

d(F) = 13

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