Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo encontra os caminhos mínimos a partir de uma origem em um grafo com pesos de arestas não negativos?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BBellman-Ford é necessário em todos os casos
  3. CAlgoritmo de Dijkstra
  4. DBusca em profundidade (DFS)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Tomar as duas extremidades de cada aresta de um emparelhamento maximal dá uma cobertura de vértices. Quão boa é essa cobertura?

  1. ANo máximo log n vezes o mínimo
  2. BDe qualidade desconhecida em relação ao ótimo
  3. CSempre uma cobertura de vértices mínima
  4. DNo máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada pela busca em profundidade (DFS) na versão iterativa?

  1. AApenas uma tabela hash
  2. BUma fila
  3. CUm heap
  4. DUma pilha
4.Estruturas de dadosDifícil

Um objeto é armazenado como chave em um hash map e depois um campo usado pela sua função hash é alterado. Qual é o resultado provável?

  1. AA busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
  2. BO map lança um erro no momento em que o campo muda
  3. CNada muda, porque o hash de uma chave é calculado uma só vez, quando o programa começa
  4. DO map move automaticamente a chave para o novo bucket
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
21091413415ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Algoritmo de Dijkstra

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Dijkstra funciona com pesos não negativos; Bellman-Ford lida com pesos negativos; Kruskal constrói árvores geradoras mínimas.

Resposta

C · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima

Porque é esta a resposta

As arestas do emparelhamento não compartilham vértices, então o ótimo precisa de pelo menos um vértice por aresta, enquanto esse método toma dois: uma 2-aproximação.

Resposta

D · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma pilha

Porque é esta a resposta

A DFS explora o mais fundo possível, usando naturalmente uma pilha (ou a pilha de chamadas da recursão); a BFS usa uma fila.

Resposta

D · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo

Porque é esta a resposta

A posição da chave foi escolhida pelo hash antigo; com um novo hash, as buscas olham o bucket errado, então as chaves devem ser imutáveis.

Resposta

A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices ímpares

C, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 28

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AB (2): tomar
DE (4): tomar
BC (9): tomar
AC (10): descartar, fecha um ciclo
CE (13): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 9 + 13 = 28

Resposta

W = 28

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