Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

É correto dizer que um algoritmo O(n²) também é O(n³)?

  1. ANão, porque n³ é menor que n² para n grande
  2. BSim, mas só se n for menor que 100
  3. CSim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
  4. DNão, porque o O grande deve sempre dar a taxa de crescimento exata da função
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca binária não dá tempo O(log n) numa lista simplesmente encadeada?

  1. AListas encadeadas não podem ser ordenadas
  2. BChegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
  3. CAs comparações entre nós de lista encadeada são mais lentas
  4. DA busca binária precisa de pelo menos o dobro da memória
3.Estruturas de dadosMédia

Você tem uma referência para um nó no meio de uma lista. Em qual lista é possível removê-lo em O(1)?

  1. AUm array ordenado
  2. BUm array dinâmico
  3. CUma lista simplesmente encadeada
  4. DUma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de segmentos (segment tree) é normalmente usada para:

  1. AOrdenar strings alfabeticamente guardando cada prefixo em um nó separado da árvore
  2. BArmazenar as arestas de um grafo
  3. CResponder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
  4. DImplementar uma pilha
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
31045131117ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

Porque é esta a resposta

O O grande é um limite superior, então a afirmação é verdadeira, mas não justa; Θ(n²) dá a taxa de crescimento exata.

Resposta

C · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice

Porque é esta a resposta

A busca binária precisa de acesso O(1) ao meio; numa lista encadeada, andar até lá custa tempo linear, então o total é O(n).

Resposta

B · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

Um nó duplamente encadeado conhece o predecessor, então dá para religar prev e next diretamente; uma lista simplesmente encadeada precisa procurar o predecessor.

Resposta

D · Uma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)

Porque é esta a resposta

Uma árvore de segmentos armazena agregados de intervalos, permitindo consultas por intervalo e atualizações pontuais em tempo O(log n).

Resposta

C · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

Vértices ímpares

B, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 23

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AB (3): tomar
BC (4): tomar
BD (5): tomar
AC (10): descartar, fecha um ciclo
DE (11): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 5 + 11 = 23

Resposta

W = 23

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