Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Como o algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima?

  1. AExecuta uma busca em largura e mantém a árvore da BFS
  2. BRemove a aresta mais cara até não restarem ciclos
  3. CFaz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
  4. DOrdena todas as arestas por peso e adiciona cada uma, a menos que forme um ciclo na floresta
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma fila é implementada com duas pilhas: push numa pilha "in" e pop numa pilha "out", reabastecida a partir de "in" quando está vazia. Qual é o custo amortizado por operação?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Estruturas de dadosDifícil

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, por que a remoção costuma ser feita com um marcador de "lápide" (tombstone)?

  1. AEsvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
  2. BChaves removidas precisam ser mantidas para sempre por segurança, então as posições nunca podem ser reutilizadas
  3. CLápides aceleram o hashing
  4. DIsso deixa a tabela ordenada
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
182571212145137ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Prim, com uma fila de prioridade de arestas de corte, roda em O(E log V) com um heap binário.

Resposta

C · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Θ(n log² n)

Porque é esta a resposta

O nível k faz cerca de n log(n / 2ᵏ) de trabalho, e somar sobre os log n níveis dá Θ(n log² n), o segundo caso estendido do teorema mestre.

Resposta

D · Θ(n log² n)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(1)

Porque é esta a resposta

Cada elemento é empilhado e desempilhado no máximo duas vezes no total, então, embora um reabastecimento possa levar O(n), a média em uma sequência é O(1).

Resposta

C · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves

Porque é esta a resposta

Se uma posição removida ficasse vazia, buscas posteriores poderiam parar cedo demais e não encontrar chaves colocadas mais adiante na cadeia de sondagem.

Resposta

A · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: C

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 1, C: 8
2. B (1): D: 3, G: 15
3. D (3): E: 10, F: 15
4. C (8): G: 13
5. E (10)
6. G (13)
7. F (15)

rodada 4

C

Resposta

C

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