Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
  2. BEla roda em tempo O(1)
  3. CO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
  4. DEla retorna 0 automaticamente
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de programação dinâmica de Held–Karp resolve o problema do caixeiro-viajante de forma exata. Qual é o seu tempo de execução para n cidades?

  1. AO(n³)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n!)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma trie (árvore de prefixos) é especialmente eficiente para:

  1. ABuscas por prefixo, como o preenchimento automático
  2. BArmazenar matrizes
  3. COrdenar números
  4. DEncontrar caminhos mínimos
4.Estruturas de dadosDifícil

Inserir uma chave em uma árvore AVL deixa a subárvore esquerda de um nó alta demais, e a nova chave foi para a subárvore esquerda do seu filho esquerdo (caso esquerda-esquerda). Qual correção é aplicada?

  1. AUma rotação simples à direita no nó desbalanceado
  2. BUma rotação simples à esquerda no nó desbalanceado
  3. CUma rotação à esquerda no filho e depois uma à direita no nó
  4. DRecolorir o nó e o seu filho
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 15 vértices e 22 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 15|E| = 22
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
54913175465ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 6; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

A · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n² 2ⁿ)

Porque é esta a resposta

Há cerca de n 2ⁿ estados, cada um calculado em O(n); isso é exponencial, mas muito mais rápido que testar todos os (n − 1)! percursos.

Resposta

C · O(n² 2ⁿ)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático

Porque é esta a resposta

Tries armazenam strings caractere por caractere ao longo de caminhos, então buscas e consultas por prefixo levam tempo proporcional ao tamanho da chave.

Resposta

A · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado

Porque é esta a resposta

No caso esquerda-esquerda, uma rotação à direita sobe o filho esquerdo e restaura o balanceamento; os casos em zigue-zague exigem rotação dupla.

Resposta

A · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 8

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

15 − 1 = 14

Arestas a remover

k = 22 − 14 = 8

Resposta

k = 8
6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 5, C: 4
2. C (4): G: 8
3. B (5)
4. G (8): D: 14, E: 13
5. E (13): F: 20
6. D (14): F: 15
7. F (15)

rodada 6

D

Resposta

D

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