Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
  2. BO custo esperado sobre entradas aleatórias
  3. CO custo de um algoritmo com a melhor entrada
  4. DO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como n! e 2ⁿ se comparam para n grande?

  1. A2ⁿ cresce mais rápido que n!
  2. Bn! cresce mais rápido que 2ⁿ
  3. Cn! é O(n²)
  4. DCrescem no mesmo ritmo
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma matriz de adjacência usa para um grafo com V vértices?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V²)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é a principal vantagem de uma skip list em relação a uma lista encadeada ordenada?

  1. AEla armazena as chaves sem ordem
  2. BEla não usa memória extra
  3. CBusca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
  4. DBusca em O(1) garantido, porque cada nó guarda um ponteiro para todos os outros nós
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 2 vão de C a D? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

A · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · n! cresce mais rápido que 2ⁿ

Porque é esta a resposta

Para n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e a razão cresce sem limite porque cada fator extra de n! é maior que 2.

Resposta

B · n! cresce mais rápido que 2ⁿ
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(V²)

Porque é esta a resposta

Uma matriz de adjacência armazena V × V entradas, sendo eficiente para grafos densos; listas de adjacência usam O(V + E), melhores para grafos esparsos.

Resposta

D · O(V²)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente

Porque é esta a resposta

Níveis aleatórios permitem que as buscas pulem muitos nós, resultando em tempo esperado O(log n) para busca, inserção e remoção.

Resposta

C · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)CD = 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Resposta

N = 2

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