Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é o tempo de execução do radix sort LSD para n inteiros com d dígitos na base k?

  1. AO(n²)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para mostrar que um novo problema X é NP-difícil, o que você precisa fazer?

  1. AReduzir X a um problema NP-difícil conhecido em tempo polinomial
  2. BMostrar que X não tem algoritmo polinomial para entradas pequenas
  3. CMostrar que X pode ser verificado em tempo polinomial
  4. DReduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o valor da expressão pós-fixa 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B11
  3. C14
  4. D24
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual estrutura permite calcular o máximo de cada janela de tamanho k em um array em O(n) no total?

  1. AUma lista simplesmente encadeada com os elementos da janela
  2. BUm deque com índices em ordem decrescente de valor
  3. CUm array ordenado atualizado por deslocamento
  4. DUm min-heap reconstruído para cada janela
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
816205101176ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(d(n + k))

Porque é esta a resposta

Cada uma das d passadas é um counting sort de custo O(n + k), então, para d e k fixos, o total é linear em n.

Resposta

C · O(d(n + k))
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Se um problema difícil conhecido pode ser transformado em X de forma eficiente, um algoritmo rápido para X também resolveria o problema conhecido.

Resposta

D · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: C · 14

Porque é esta a resposta

Empilhe 3 e 4, + dá 7; empilhe 2, * dá 7 × 2 = 14.

Resposta

C · 14
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Um deque com índices em ordem decrescente de valor

Porque é esta a resposta

A frente do deque é sempre o máximo da janela; cada índice entra e sai do deque uma vez, então o trabalho é linear.

Resposta

B · Um deque com índices em ordem decrescente de valor
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 16

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

Resposta

L = 16

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 41

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

DE (1): tomar
BD (5): tomar
BE (6): descartar, fecha um ciclo
AB (8): tomar
CE (10): tomar
AC (16): descartar, fecha um ciclo
EF (17): tomar

Peso total

W = 1 + 5 + 8 + 10 + 17 = 41

Resposta

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms