Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

  1. AEscolher a atividade que começa mais cedo
  2. BEscolher primeiro a atividade mais curta
  3. CEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
  4. DEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais duas coisas precisam ser mostradas para provar que um problema de decisão X é NP-completo?

  1. AX está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
  2. BX está em P, e X se reduz ao SAT
  3. CX não tem algoritmo polinomial, e X é decidível
  4. DX se reduz a um problema em P, e X está em NP
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva verificar se a aresta (u, v) existe usando uma matriz de adjacência?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Estruturas de dadosDifícil

Quanto tempo leva buscar uma chave arbitrária em um min-heap binário de n elementos?

  1. AO(log n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 6 vértices e 8 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 6|E| = 8
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
120111036816ABCDEF

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice F. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 5.

início: Fk = 5
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta BC
  3. 3aresta BD
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

D · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

A pertinência a NP mostra que X não é mais difícil que NP; a redução a partir de um problema NP-completo conhecido mostra que X é pelo menos tão difícil quanto todo NP.

Resposta

A · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: A · O(1)

Porque é esta a resposta

A entrada na linha u, coluna v da matriz diz imediatamente se a aresta existe; uma lista de adjacência pode precisar percorrer os vizinhos de u.

Resposta

A · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Um heap não dá nenhuma regra sobre qual subárvore contém uma chave, então no pior caso todos os nós precisam ser verificados; só o mínimo é rápido de encontrar.

Resposta

C · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

6 − 1 = 5

Arestas a remover

k = 8 − 5 = 3

Resposta

k = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta AB

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. DF (6)
2. DE (3)
3. CE (10)
4. BD (11)
5. AB (1)

número da aresta 5

AB

Resposta

aresta AB

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