Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo encontra os caminhos mínimos a partir de uma origem em um grafo com pesos de arestas não negativos?

  1. ABusca em profundidade (DFS)
  2. BBellman-Ford é necessário em todos os casos
  3. CAlgoritmo de Dijkstra
  4. DAlgoritmo de Kruskal
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para qual variante da mochila a regra gulosa "pegar os itens em ordem de valor por peso" sempre dá uma resposta ótima?

  1. AA mochila 0/1, em que os itens devem ser sempre levados inteiros
  2. BNenhuma das variantes
  3. CA mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
  4. DAs duas variantes
3.Estruturas de dadosMédia

Um percurso em ordem (in-order) de uma árvore binária de busca visita as chaves em:

  1. AOrdem crescente
  2. BOrdem de inserção
  3. CSempre ordem decrescente
  4. DOrdem por nível
4.Estruturas de dadosDifícil

Um objeto é armazenado como chave em um hash map e depois um campo usado pela sua função hash é alterado. Qual é o resultado provável?

  1. AA busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
  2. BNada muda, porque o hash de uma chave é calculado uma só vez, quando o programa começa
  3. CO map lança um erro no momento em que o campo muda
  4. DO map move automaticamente a chave para o novo bucket
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 5, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
147817311205419ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Algoritmo de Dijkstra

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Dijkstra funciona com pesos não negativos; Bellman-Ford lida com pesos negativos; Kruskal constrói árvores geradoras mínimas.

Resposta

C · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos

Porque é esta a resposta

Quando os itens podem ser divididos, a melhor razão primeiro é ótima; na mochila 0/1, um item de razão alta pode bloquear uma combinação melhor, então é preciso programação dinâmica.

Resposta

C · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Ordem crescente

Porque é esta a resposta

Visitar a subárvore esquerda, depois o nó e depois a subárvore direita produz as chaves da BST em ordem.

Resposta

A · Ordem crescente
4.Estruturas de dados

Resposta: A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo

Porque é esta a resposta

A posição da chave foi escolhida pelo hash antigo; com um novo hash, as buscas olham o bucket errado, então as chaves devem ser imutáveis.

Resposta

A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

Resposta

L = 11

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 47

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

CE (3): tomar
GC (4): tomar
GB (5): tomar
AC (7): tomar
BC (8): descartar, fecha um ciclo
DF (11): tomar
AB (14): descartar, fecha um ciclo
BD (17): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 5 + 7 + 11 + 17 = 47

Resposta

W = 47

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