Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que o algoritmo de Floyd–Warshall calcula, e com que rapidez?

  1. ACaminhos mínimos de um vértice de origem para todos os outros em O(V + E)
  2. BUma árvore geradora mínima em O(E log V)
  3. CUma ordenação topológica em O(V²)
  4. DCaminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca média em uma tabela hash é O(1), mas o pior caso é O(n)?

  1. AAs chaves precisam ser ordenadas primeiro
  2. BArrays têm acesso O(n)
  3. CFunções hash são lentas
  4. DMuitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva a busca de uma palavra de comprimento L em uma trie com alfabeto fixo?

  1. AO(n), em que n é o número de palavras
  2. BO(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
  3. CO(log n), em que n é o número de palavras
  4. DO(L × n)
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que os bancos de dados costumam usar árvores B+ em vez de árvores B simples nos índices?

  1. AÁrvores B+ usam nós internos binários, o que reduz as leituras de disco
  2. BÁrvores B+ não precisam ser balanceadas
  3. CTodos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
  4. DÁrvores B+ armazenam dados apenas na raiz
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
103731231231491ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)

Porque é esta a resposta

Floyd–Warshall é um algoritmo de programação dinâmica que permite cada vértice, um de cada vez, como ponto intermediário, usando tempo O(V³).

Resposta

D · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket

Porque é esta a resposta

Com uma boa função hash e um fator de carga adequado, os buckets permanecem curtos em média; um hashing malicioso ou ruim pode colocar todas as chaves em um único bucket.

Resposta

D · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas

Porque é esta a resposta

Cada caractere escolhe um filho, então uma busca leva L passos, não importa quantas palavras a trie contenha.

Resposta

B · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes

Porque é esta a resposta

Em uma árvore B+, os nós internos só guiam a busca e as folhas são encadeadas na ordem das chaves, então uma consulta por intervalo encontra a primeira chave e depois percorre as folhas.

Resposta

C · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 18

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 10, C: 3
C (3): E: 15, G: 12
B (10): D: 13
G (12)
D (13): F: 25
E (15): F: 18
F (18)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 18

Resposta

d(F) = 18

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