Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quanto espaço de pilha usa uma função fatorial recursiva simples fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. A2n = o(n), porque 2n cresce devagar
  2. Bn = o(n²), mas n não é o(n)
  3. Cn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
  4. Dn² = o(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Por que percorrer um array costuma ser muito mais rápido na prática do que percorrer uma lista encadeada do mesmo tamanho?

  1. AArrays usam menos instruções para comparar valores
  2. BOs elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU
  3. CListas encadeadas sempre armazenam os elementos em disco
  4. DPercorrer um array é O(1) no total, enquanto percorrer uma lista encadeada é O(n)
4.Estruturas de dadosDifícil

Quanto tempo leva buscar uma chave arbitrária em um min-heap binário de n elementos?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K6? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K6
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
88116712156ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n)

Porque é esta a resposta

A recursão chega a n chamadas de profundidade antes de qualquer retorno, e cada chamada precisa de um quadro de pilha, então usa espaço O(n).

Resposta

D · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

B · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Os elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU

Porque é esta a resposta

A memória contígua dá boa localidade de referência, enquanto os nós encadeados podem estar espalhados e causar muitos cache misses.

Resposta

B · Os elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Um heap não dá nenhuma regra sobre qual subárvore contém uma chave, então no pior caso todos os nós precisam ser verificados; só o mínimo é rápido de encontrar.

Resposta

C · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 60

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Resposta

H = 60
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 29

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 8
C (8): B: 16, E: 14
E (14): D: 21, F: 29
B (16)
D (21)
F (29)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 29

Resposta

d(F) = 29

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