Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O limite inferior para ordenação baseada em comparações no pior caso é:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Caminhos simples mínimos podem ser encontrados em tempo polinomial. O que se sabe sobre encontrar o caminho simples mais longo entre dois vértices num grafo geral?

  1. AÉ NP-difícil
  2. BPode ser resolvido pelo algoritmo de Dijkstra com os pesos negados
  3. CÉ indecidível
  4. DÉ sempre solúvel em O(V + E)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a finalidade de um nó sentinela (dummy) em uma lista encadeada?

  1. AManter a lista ordenada
  2. BImpedir que a lista cresça além de um número máximo fixo de nós
  3. CSimplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
  4. DArmazenar o número de elementos
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. APré-ordem e em ordem
  2. BSó a pré-ordem
  3. CPré-ordem e pós-ordem
  4. DSó o percurso por níveis
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
11812214491312713ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Ω(n log n)

Porque é esta a resposta

Qualquer ordenação por comparação precisa de pelo menos log₂(n!) ≈ n log n comparações no pior caso. O counting sort supera esse limite porque não faz comparações.

Resposta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · É NP-difícil

Porque é esta a resposta

Um caminho simples mais longo de comprimento V − 1 é um caminho hamiltoniano, um problema NP-completo; em grafos acíclicos dirigidos, porém, é solúvel em tempo linear.

Resposta

A · É NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda

Porque é esta a resposta

Com uma sentinela, todo nó real tem um predecessor, então inserir ou remover na cabeça não exige tratamento especial.

Resposta

C · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

A · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Vértices ímpares

B, F → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 11, C: 8
2. C (8): E: 22, G: 15
3. B (11): D: 13
4. D (13): E: 17, F: 22
5. G (15)
6. E (17)
7. F (22)

rodada 4

D

Resposta

D

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