Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
  2. BEla retorna 0 automaticamente
  3. CEla roda em tempo O(1)
  4. DEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o tempo de execução do algoritmo de Dijkstra com um heap binário num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³)
  4. DO(V × E)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a finalidade de um nó sentinela (dummy) em uma lista encadeada?

  1. AImpedir que a lista cresça além de um número máximo fixo de nós
  2. BArmazenar o número de elementos
  3. CManter a lista ordenada
  4. DSimplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
4.Estruturas de dadosDifícil

Como detectar se uma lista simplesmente encadeada contém um ciclo usando O(1) de memória extra?

  1. AOrdenar a lista e procurar duplicatas
  2. BMover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
  3. CContar os nós até a contagem passar do campo de tamanho da lista
  4. DGuardar cada nó visitado em um conjunto hash
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 8 vértices e 11 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 8|E| = 11
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
53271510108ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O((V + E) log V)

Porque é esta a resposta

Há V operações extract-min e até E operações decrease-key, cada uma O(log V); um heap de Fibonacci melhora isso para O(E + V log V).

Resposta

A · O((V + E) log V)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda

Porque é esta a resposta

Com uma sentinela, todo nó real tem um predecessor, então inserir ou remover na cabeça não exige tratamento especial.

Resposta

D · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram

Porque é esta a resposta

No algoritmo de Floyd, se houver um ciclo, o ponteiro rápido acaba alcançando o lento; caso contrário, o ponteiro rápido chega a null.

Resposta

B · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

8 − 1 = 7

Arestas a remover

k = 11 − 7 = 4

Resposta

k = 4
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 22

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 5, C: 3
C (3): E: 18
B (5): D: 12, E: 13
D (12): F: 22
E (13)
F (22)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 22

Resposta

d(F) = 22

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