Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do algoritmo de Bellman–Ford num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A multiplicação de Karatsuba satisfaz T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual é a solução?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dadosMédia

Uma tabela hash de tamanho 7 usa h(k) = k mod 7 e sondagem linear. Depois de inserir 10, onde 17 é armazenado?

  1. ANo índice 0
  2. BNo índice 4
  3. CNo índice 3
  4. DNo índice 6
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que um servidor pode escolher sua função hash ao acaso a partir de uma família universal?

  1. APara manter a tabela hash ordenada
  2. BPara tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
  3. CPara garantir que duas chaves nunca colidam, quaisquer que sejam as chaves enviadas por um atacante
  4. DPara eliminar a necessidade de redimensionar a tabela
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 34 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
1461443973ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(V × E)

Porque é esta a resposta

Cada uma das V − 1 rodadas relaxa as E arestas, o que dá O(VE); em troca, ele lida com pesos de aresta negativos.

Resposta

D · O(V × E)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585

Porque é esta a resposta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, as folhas dominam pelo teorema mestre, superando o método escolar O(n²).

Resposta

D · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dados

Resposta: B · No índice 4

Porque é esta a resposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; o índice 3 está ocupado, então a sondagem linear tenta a próxima posição, o índice 4.

Resposta

B · No índice 4
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si

Porque é esta a resposta

Com hashing universal, o número esperado de colisões é pequeno para qualquer conjunto de chaves, já que o atacante não sabe qual função foi escolhida.

Resposta

B · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 30 = 2(L + 10) − 2
L = 12

Resposta

L = 12

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 14, C: 6
2. C (6): E: 9
3. E (9): D: 18, B: 12
4. B (12): D: 16
5. D (16): F: 23
6. F (23)

rodada 4

B

Resposta

B

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