Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A complexidade de tempo do Fibonacci recursivo ingênuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) é:

  1. AConstante
  2. BExponencial
  3. CLogarítmica
  4. DLinear
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre P e NP está correta?

  1. ATodo problema em P também está em NP
  2. BNP significa "não polinomial"
  3. CFoi provado que P ≠ NP
  4. DSoluções de problemas NP não podem ser verificadas rapidamente
3.Estruturas de dadosMédia

Como se encontra a menor chave em uma árvore binária de busca?

  1. AOlhando apenas a raiz
  2. BSeguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
  3. CSeguindo os filhos direitos a partir da raiz até não haver filho direito
  4. DVisitando todas as folhas e comparando-as
4.Estruturas de dadosDifícil

Um nó AVL está desbalanceado porque a subárvore direita do seu filho esquerdo ficou alta demais (caso esquerda-direita). Qual correção é aplicada?

  1. AUma rotação simples à direita no nó
  2. BUma rotação simples à esquerda no nó
  3. CUma rotação à direita no filho esquerdo e depois uma à esquerda no nó
  4. DUma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
2161820751936ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2; as arestas descartadas não contam.

k = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta GB
  8. 8aresta GC
  9. 9aresta GD
  10. 10aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Exponencial

Porque é esta a resposta

A árvore de chamadas cresce aproximadamente como φⁿ (cerca de 1,618ⁿ). A memoização reduz isso para O(n).

Resposta

B · Exponencial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Todo problema em P também está em NP

Porque é esta a resposta

P ⊆ NP: se você consegue resolver um problema rapidamente, consegue verificar uma solução rapidamente. Se P = NP ainda é uma questão em aberto.

Resposta

A · Todo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda não tem chave menor na árvore, então é o mínimo; o custo é proporcional à altura.

Resposta

B · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó

Porque é esta a resposta

A primeira rotação converte o caso esquerda-direita em um caso esquerda-esquerda, que uma rotação à direita no nó desbalanceado então corrige.

Resposta

D · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 18 = 2(L + 4) − 2
L = 12

Resposta

L = 12

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta AB

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. BC (1)
2. AB (2)
3. GD (3)
4. GB (5)
5. GE (6)
6. DF (7)

número da aresta 2

AB

Resposta

aresta AB

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