Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
  2. BO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
  3. CO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
  4. DO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual técnica dá ao quicksort um tempo de execução esperado O(n log n) para qualquer entrada?

  1. ASempre escolher o primeiro elemento
  2. BEscolher o pivô de forma uniformemente aleatória
  3. COrdenar a entrada antes de executar o quicksort
  4. DUsar recursão apenas no lado esquerdo
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma matriz de adjacência usa para um grafo com V vértices?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E)
4.Estruturas de dadosDifícil

Para cada elemento de um array, você quer o próximo elemento maior à sua direita, em tempo total O(n). Qual estrutura ajuda?

  1. AUma fila que guarda todos os pares de elementos
  2. BUma tabela hash com todos os elementos
  3. CUma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
  4. DUma árvore binária de busca reconstruída para cada elemento
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 20 vértices e 24 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 20|E| = 24
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
3517615718ABCDEF

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice F. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 5.

início: Fk = 5
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

C · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória

Porque é esta a resposta

Com um pivô aleatório, o tempo esperado é O(n log n) para toda entrada; casos ruins ainda existem, mas são muito improváveis.

Resposta

B · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória
3.Estruturas de dados

Resposta: A · O(V²)

Porque é esta a resposta

Uma matriz de adjacência armazena V × V entradas, sendo eficiente para grafos densos; listas de adjacência usam O(V + E), melhores para grafos esparsos.

Resposta

A · O(V²)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta

Porque é esta a resposta

Percorrendo da esquerda para a direita, desempilhe todo elemento menor que o atual (o atual é a resposta deles) e depois empilhe-o; cada elemento se move no máximo duas vezes.

Resposta

C · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 5

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

20 − 1 = 19

Arestas a remover

k = 24 − 19 = 5

Resposta

k = 5
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta DF

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. EF (1)
2. CE (6)
3. AC (5)
4. AB (3)
5. DF (7)

número da aresta 5

DF

Resposta

aresta DF

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