Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que qualquer busca baseada em comparações num array ordenado precisa de Ω(log n) comparações no pior caso?

  1. AA busca binária é o único algoritmo possível e precisa de log₂ n comparações
  2. BUma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
  3. CCada comparação leva tempo logarítmico
  4. DTodo elemento precisa ser comparado pelo menos uma vez
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. A1
  2. B2
  3. CNão há máximo
  4. D0,5
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é o tempo de execução da busca em largura em um grafo com V vértices armazenado como matriz de adjacência?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 19 vértices e 20 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 19|E| = 20
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
413131105548ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(D) do caminho mais curto de A até D no grafo ponderado.

início: Afim: D
d(D) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre, nlog₂ 2 = n domina o trabalho constante, então T(n) = Θ(n), como ao encontrar um máximo dividindo em metades.

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n

Porque é esta a resposta

Cada comparação no máximo divide pela metade o conjunto de possibilidades restantes, então distinguir n posições exige pelo menos log₂ n comparações.

Resposta

B · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

A · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: D · O(V²)

Porque é esta a resposta

Cada um dos V vértices percorre uma linha de V entradas, o que dá O(V²); com listas de adjacência, a BFS é O(V + E).

Resposta

D · O(V²)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 2

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

19 − 1 = 18

Arestas a remover

k = 20 − 18 = 2

Resposta

k = 2
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(D) = 5

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 4, C: 13
B (4): D: 5, E: 12
D (5): E: 10, F: 10
E (10)
F (10)
C (13)

Caminho mais curto

A → B → D
d(D) = 5

Resposta

d(D) = 5

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