Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Como o algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima?

  1. AExecuta uma busca em largura e mantém a árvore da BFS
  2. BOrdena todas as arestas por peso e adiciona cada uma, a menos que forme um ciclo na floresta
  3. CFaz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
  4. DRemove a aresta mais cara até não restarem ciclos
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) faça trabalho O(1)?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.Estruturas de dadosMédia

O que acontece quando uma tabela hash faz rehash depois que o fator de carga passa de um limite?

  1. ASó as chaves que colidiram são movidas para uma nova lista de overflow no fim da tabela
  2. BAs chaves mais antigas são apagadas para abrir espaço
  3. CAs chaves existentes são ordenadas no próprio lugar
  4. DUma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
4.Estruturas de dadosDifícil

Que garantia as regras da árvore rubro-negra dão sobre a altura de uma árvore com n chaves?

  1. AA altura é no máximo 2 log2(n + 1)
  2. BA altura é exatamente log2 n
  3. CA altura é no máximo n / 2
  4. DA altura é no máximo log2 n + 1
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1971082018133ABCDEF

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 4; as arestas descartadas não contam.

k = 4
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Prim, com uma fila de prioridade de arestas de corte, roda em O(E log V) com um heap binário.

Resposta

C · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O total é n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e o número harmônico Hn é Θ(log n).

Resposta

C · O(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo

Porque é esta a resposta

Como o índice é calculado módulo o tamanho da tabela, todas as chaves precisam ser reinseridas na nova tabela maior; dobrando o tamanho, o custo continua O(1) amortizado.

Resposta

D · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
4.Estruturas de dados

Resposta: A · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)

Porque é esta a resposta

Todo caminho tem o mesmo número de nós pretos e nós vermelhos não podem ser adjacentes, então o caminho mais longo é no máximo o dobro do mais curto, o que dá altura O(log n).

Resposta

A · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, B, C, G → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BC

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. BE (3)
2. AC (7)
3. BD (8)
4. BC (10)
5. EF (13)

número da aresta 4

BC

Resposta

aresta BC

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