Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para qual variante da mochila a regra gulosa "pegar os itens em ordem de valor por peso" sempre dá uma resposta ótima?

  1. AA mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
  2. BA mochila 0/1, em que os itens devem ser sempre levados inteiros
  3. CNenhuma das variantes
  4. DAs duas variantes
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. ATodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  2. BAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  3. CTodo nó é colorido de vermelho ou preto
  4. DAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
4.Estruturas de dadosDifícil

Um objeto é armazenado como chave em um hash map e depois um campo usado pela sua função hash é alterado. Qual é o resultado provável?

  1. AO map lança um erro no momento em que o campo muda
  2. BO map move automaticamente a chave para o novo bucket
  3. CA busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
  4. DNada muda, porque o hash de uma chave é calculado uma só vez, quando o programa começa
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 18 vértices e 24 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 18|E| = 24
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
710118121314116ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 4; as arestas descartadas não contam.

k = 4
  1. 1aresta AC
  2. 2aresta BD
  3. 3aresta CE
  4. 4aresta DE
  5. 5aresta DF
  6. 6aresta EF
  7. 7aresta GB
  8. 8aresta GD
  9. 9aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(2ⁿ)

Porque é esta a resposta

O número de chamadas dobra a cada nível e há n níveis, então o total é cerca de 2ⁿ, como na Torre de Hanói.

Resposta

A · O(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos

Porque é esta a resposta

Quando os itens podem ser divididos, a melhor razão primeiro é ótima; na mochila 0/1, um item de razão alta pode bloquear uma combinação melhor, então é preciso programação dinâmica.

Resposta

A · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
3.Estruturas de dados

Resposta: B · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

B · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: C · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo

Porque é esta a resposta

A posição da chave foi escolhida pelo hash antigo; com um novo hash, as buscas olham o bucket errado, então as chaves devem ser imutáveis.

Resposta

C · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 7

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

18 − 1 = 17

Arestas a remover

k = 24 − 17 = 7

Resposta

k = 7
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BD

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. CE (1)
2. GE (6)
3. AC (7)
4. BD (10)
5. GD (11)
6. DF (12)

número da aresta 4

BD

Resposta

aresta BD

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