Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como n! e 2ⁿ se comparam para n grande?

  1. An! cresce mais rápido que 2ⁿ
  2. B2ⁿ cresce mais rápido que n!
  3. CCrescem no mesmo ritmo
  4. Dn! é O(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Como um novo elemento é inserido em um heap binário?

  1. AColoca-se na raiz e faz-se sift-down
  2. BColoca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
  3. CReconstrói-se o heap inteiro do zero
  4. DInsere-se na posição ordenada, deslocando uma posição à direita todos os elementos maiores
4.Estruturas de dadosDifícil

Para uma tabela hash funcionar corretamente, que regra o hash e a igualdade devem seguir?

  1. AValores hash iguais implicam chaves iguais
  2. BChaves iguais devem ter valores hash iguais
  3. COs valores hash devem ser números primos
  4. DChaves diferentes devem ter valores hash diferentes
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
13155141116ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

Há n níveis com trabalho constante cada, como numa soma recursiva de um array.

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · n! cresce mais rápido que 2ⁿ

Porque é esta a resposta

Para n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e a razão cresce sem limite porque cada fator extra de n! é maior que 2.

Resposta

A · n! cresce mais rápido que 2ⁿ
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap

Porque é esta a resposta

Adicionar no fim mantém a árvore completa; trocar com o pai restaura a ordem em O(log n) passos.

Resposta

B · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Chaves iguais devem ter valores hash iguais

Porque é esta a resposta

Se duas chaves iguais tivessem hashes diferentes, iriam para buckets diferentes e as buscas falhariam; chaves diferentes ainda podem compartilhar um hash.

Resposta

B · Chaves iguais devem ter valores hash iguais
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 15

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

Resposta

L = 15

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 23

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BD (1): tomar
CE (4): tomar
BC (5): tomar
DE (11): descartar, fecha um ciclo
AB (13): tomar

Peso total

W = 1 + 4 + 5 + 13 = 23

Resposta

W = 23

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