Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla roda em tempo O(1)
  2. BO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
  3. CEla retorna 0 automaticamente
  4. DEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para qual variante da mochila a regra gulosa "pegar os itens em ordem de valor por peso" sempre dá uma resposta ótima?

  1. AA mochila 0/1, em que os itens devem ser sempre levados inteiros
  2. BNenhuma das variantes
  3. CAs duas variantes
  4. DA mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
3.Estruturas de dadosMédia

Um buffer circular (ring buffer) é comumente usado para implementar:

  1. AUma função hash
  2. BUma fila de tamanho fixo
  3. CUma árvore binária de busca
  4. DUm percurso em grafo
4.Estruturas de dadosDifícil

Um nó AVL está desbalanceado porque a subárvore direita do seu filho esquerdo ficou alta demais (caso esquerda-direita). Qual correção é aplicada?

  1. AUma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
  2. BUma rotação simples à esquerda no nó
  3. CUma rotação simples à direita no nó
  4. DUma rotação à direita no filho esquerdo e depois uma à esquerda no nó
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 34 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
18198155119ABCDE

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 4; as arestas descartadas não contam.

k = 4
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos

Porque é esta a resposta

Quando os itens podem ser divididos, a melhor razão primeiro é ótima; na mochila 0/1, um item de razão alta pode bloquear uma combinação melhor, então é preciso programação dinâmica.

Resposta

D · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila de tamanho fixo

Porque é esta a resposta

Um buffer circular usa índices de início e fim que dão a volta, oferecendo enqueue e dequeue em O(1) com memória fixa.

Resposta

B · Uma fila de tamanho fixo
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó

Porque é esta a resposta

A primeira rotação converte o caso esquerda-direita em um caso esquerda-esquerda, que uma rotação à direita no nó desbalanceado então corrige.

Resposta

A · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 16

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

Resposta

L = 16

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta AB

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. CE (5)
2. BC (8)
3. DE (11)
4. AB (18)

número da aresta 4

AB

Resposta

aresta AB

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