Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Uma função executa um laço de n iterações e depois, separadamente, outro laço de n iterações. Qual é a sua complexidade de tempo?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe NP está correta?

  1. AProblemas que não são polinomiais
  2. BProblemas que não podem ser resolvidos em tempo polinomial
  3. CProblemas que nenhum algoritmo consegue resolver
  4. DProblemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. Dn (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de Fenwick (binary indexed tree) sobre um array de n números permite quais operações em O(log n)?

  1. AOrdenar o array e fazer busca binária
  2. BConsultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
  3. CInserir elementos em qualquer posição
  4. DEncontrar a mediana em O(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
214114151313ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(E) do caminho mais curto de A até E no grafo ponderado.

início: Afim: E
d(E) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n)

Porque é esta a resposta

n + n = 2n, e os fatores constantes são descartados, então a função é O(n).

Resposta

D · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado

Porque é esta a resposta

Num problema NP, uma solução proposta (certificado) pode ser verificada rapidamente, por exemplo, verificar se uma atribuição dada satisfaz uma fórmula booleana.

Resposta

D · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
3.Estruturas de dados

Resposta: D · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

D · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento

Porque é esta a resposta

Uma árvore de Fenwick armazena somas parciais sobre intervalos determinados pelos bits menos significativos de cada índice, então tanto as somas de prefixo quanto as atualizações pontuais levam O(log n).

Resposta

B · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices ímpares

C, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(E) = 15

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 2, C: 1
C (1)
B (2): D: 3, E: 15
D (3): F: 18
E (15)
F (18)

Caminho mais curto

A → B → E
d(E) = 15

Resposta

d(E) = 15

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