Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. ASubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  2. BUm único laço
  3. CNenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  4. DApenas entradas aleatórias
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual algoritmo encontra uma árvore geradora mínima adicionando repetidamente a aresta mais barata que não forma um ciclo?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BFloyd-Warshall
  3. CAlgoritmo de Kruskal
  4. DAlgoritmo de Prim a partir de um nó
3.Estruturas de dadosMédia

O que é verdade sobre a matriz de adjacência de um grafo não direcionado?

  1. ACada linha tem exatamente um 1
  2. BÉ sempre triangular superior
  3. CA diagonal principal sempre contém uns
  4. DÉ simétrica em relação à diagonal principal
4.Estruturas de dadosDifícil

Sem união por posto nem compressão de caminho, qual é o custo no pior caso de um único find em uma estrutura union-find com n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(α(n))
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 7 vértices e 15 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 7|E| = 15
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios de comprimento 2 vão de D a B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

A · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Algoritmo de Kruskal

Porque é esta a resposta

Kruskal ordena as arestas por peso e as adiciona se conectarem componentes diferentes; Prim faz crescer uma única árvore a partir de um vértice inicial.

Resposta

C · Algoritmo de Kruskal
3.Estruturas de dados

Resposta: D · É simétrica em relação à diagonal principal

Porque é esta a resposta

Em um grafo não direcionado, a aresta {u, v} significa que M[u][v] e M[v][u] estão marcados, então a matriz é igual à sua transposta.

Resposta

D · É simétrica em relação à diagonal principal
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Uniões ingênuas podem ligar as árvores em uma longa cadeia, então o find pode seguir n − 1 ponteiros para o pai; as duas heurísticas o deixam perto de constante.

Resposta

A · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 9

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

7 − 1 = 6

Arestas a remover

k = 15 − 6 = 9

Resposta

k = 9
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)DB = 0·0 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 + 1·0 = 1

Resposta

N = 1

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