Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. ASempre fornece a solução ótima
  2. BUsa apenas recursão
  3. CTesta todas as soluções possíveis
  4. DFaz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A multiplicação de Karatsuba satisfaz T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual é a solução?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual tipo abstrato de dados o algoritmo de Dijkstra usa para escolher o próximo vértice a processar?

  1. AUma fila de prioridade mínima
  2. BUma fila FIFO
  3. CUm conjunto sem ordem
  4. DUma pilha
4.Estruturas de dadosDifícil

Inserir uma chave em uma árvore AVL deixa a subárvore esquerda de um nó alta demais, e a nova chave foi para a subárvore esquerda do seu filho esquerdo (caso esquerda-esquerda). Qual correção é aplicada?

  1. ARecolorir o nó e o seu filho
  2. BUma rotação à esquerda no filho e depois uma à direita no nó
  3. CUma rotação simples à esquerda no nó desbalanceado
  4. DUma rotação simples à direita no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
1891211181314ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

D · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585

Porque é esta a resposta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, as folhas dominam pelo teorema mestre, superando o método escolar O(n²).

Resposta

C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma fila de prioridade mínima

Porque é esta a resposta

Uma fila de prioridade mínima, normalmente um heap binário, retorna de forma eficiente o vértice não visitado com a menor distância.

Resposta

A · Uma fila de prioridade mínima
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado

Porque é esta a resposta

No caso esquerda-esquerda, uma rotação à direita sobe o filho esquerdo e restaura o balanceamento; os casos em zigue-zague exigem rotação dupla.

Resposta

D · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 2520

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Resposta

H = 2520
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 45

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AB (1): tomar
AC (8): tomar
BC (9): descartar, fecha um ciclo
CE (11): tomar
BD (12): tomar
EF (13): tomar

Peso total

W = 1 + 8 + 11 + 12 + 13 = 45

Resposta

W = 45

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