Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

  1. ACaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
  2. BUma ordenação topológica em todos os grafos
  3. CCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
  4. DA árvore geradora mínima
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe P está correta?

  1. AProblemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
  2. BProblemas que podem ser resolvidos em paralelo
  3. CProblemas que exigem tempo exponencial em qualquer computador
  4. DProblemas cujas soluções podem ser verificadas, mas nunca encontradas, em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Árvores AVL e árvores rubro-negras garantem:

  1. ABusca em tempo constante em todos os casos
  2. BAltura O(log n) por meio do rebalanceamento
  3. CQue nenhum nó tenha dois filhos
  4. DQue as chaves fiquem armazenadas na ordem de inserção
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que não se pode simplesmente remover elementos de um filtro de Bloom padrão zerando seus bits?

  1. AFiltros de Bloom armazenam os elementos completos, que não podem ser localizados de novo depois do hash
  2. BRemover aumentaria a taxa de falsos positivos para 100%
  3. COs bits de um filtro de Bloom não podem ser alterados depois da criação
  4. DEsses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
201117151642110ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

A · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

P contém os problemas de decisão com um algoritmo determinístico de tempo polinomial, como verificar se um grafo é conexo.

Resposta

A · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento

Porque é esta a resposta

Árvores autobalanceadas mantêm a altura logarítmica, então busca, inserção e remoção são O(log n) no pior caso.

Resposta

B · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos

Porque é esta a resposta

Zerar um bit compartilhado faria outro elemento parecer ausente; filtros de Bloom com contagem usam contadores em vez de bits para permitir a remoção.

Resposta

D · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 40

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

EF (1): tomar
DF (2): tomar
DE (4): descartar, fecha um ciclo
BE (10): tomar
AC (11): tomar
BD (15): descartar, fecha um ciclo
CE (16): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 10 + 11 + 16 = 40

Resposta

W = 40

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