Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
  2. BO custo esperado sobre entradas aleatórias
  3. CO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
  4. DO custo de um algoritmo com a melhor entrada
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. ASatisfatibilidade de circuitos
  2. B2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
  3. C3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  4. DSAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
3.Estruturas de dadosMédia

Você tem uma referência para um nó no meio de uma lista. Em qual lista é possível removê-lo em O(1)?

  1. AUma lista simplesmente encadeada
  2. BUm array ordenado
  3. CUm array dinâmico
  4. DUma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dadosDifícil

A complexidade de tempo de decrease-key em um heap binário (dada a posição do elemento) é:

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

C · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

Um nó duplamente encadeado conhece o predecessor, então dá para religar prev e next diretamente; uma lista simplesmente encadeada precisa procurar o predecessor.

Resposta

D · Uma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(log n)

Porque é esta a resposta

Após diminuir a chave, o elemento sobe (sift-up) no máximo a altura do heap. Heaps de Fibonacci alcançam decrease-key em O(1) amortizado.

Resposta

C · O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices ímpares

B, C, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 4

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Resposta

N = 4

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