Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A complexidade de tempo do Fibonacci recursivo ingênuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) é:

  1. ALinear
  2. BExponencial
  3. CLogarítmica
  4. DConstante
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que o algoritmo de Dijkstra pode dar resultados errados quando alguns pesos de aresta são negativos?

  1. AUm vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
  2. BEntra num laço infinito a cada aresta negativa
  3. CNúmeros negativos não podem ser armazenados numa fila de prioridade
  4. DSó funciona em grafos não dirigidos
3.Estruturas de dadosMédia

Qual método de resolução de colisões armazena as chaves que colidem em uma lista no mesmo bucket?

  1. ASondagem linear (linear probing)
  2. BSondagem quadrática (quadratic probing)
  3. CEncadeamento separado (separate chaining)
  4. DHash duplo (double hashing)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade uma árvore rubro-negra deve satisfazer?

  1. ATodo nó vermelho deve ter filhos vermelhos, então nós vermelhos sempre formam cadeias ininterruptas até as folhas
  2. BTodo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
  3. CA raiz deve ser vermelha
  4. DTodo nó deve ser vermelho
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
11321562141289ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Exponencial

Porque é esta a resposta

A árvore de chamadas cresce aproximadamente como φⁿ (cerca de 1,618ⁿ). A memoização reduz isso para O(n).

Resposta

B · Exponencial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto

Porque é esta a resposta

O passo guloso depende de pesos não negativos para que as distâncias extraídas sejam definitivas; usa-se Bellman–Ford quando os pesos podem ser negativos.

Resposta

A · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Encadeamento separado (separate chaining)

Porque é esta a resposta

O encadeamento mantém uma lista encadeada (ou outra estrutura) por bucket; o endereçamento aberto procura outra posição livre na própria tabela.

Resposta

C · Encadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

Porque é esta a resposta

Regras rubro-negras: os nós são vermelhos ou pretos, a raiz é preta, nós vermelhos têm filhos pretos e todos os caminhos têm a mesma altura negra, mantendo a altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Resposta

B · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 2520

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Resposta

H = 2520
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 5

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 13
B (1): D: 3, G: 13
D (3): E: 9, F: 5, G: 11
F (5)
E (9)
G (11)
C (13)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 5

Resposta

d(F) = 5

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