Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo amortizada de adicionar ao final de um array dinâmico que dobra sua capacidade quando fica cheio?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que decorreria se alguém encontrasse um algoritmo de tempo polinomial para um problema NP-completo?

  1. ATodos os algoritmos de tempo exponencial passariam imediatamente a rodar em tempo linear
  2. BTodo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
  3. CO problema da parada se tornaria decidível
  4. DSó aquele problema passaria para P
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. ANão há máximo
  2. B1
  3. C2
  4. D0,5
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade uma árvore rubro-negra deve satisfazer?

  1. ATodo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
  2. BTodo nó vermelho deve ter filhos vermelhos, então nós vermelhos sempre formam cadeias ininterruptas até as folhas
  3. CA raiz deve ser vermelha
  4. DTodo nó deve ser vermelho
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
3515157257ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(1)

Porque é esta a resposta

A cópia de todos os elementos só acontece em potências de dois; distribuído entre todas as inserções, o custo médio por inserção é constante.

Resposta

C · O(1)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP

Porque é esta a resposta

Como todo NP se reduz a qualquer problema NP-completo em tempo polinomial, um algoritmo rápido para um dá um algoritmo rápido para todos.

Resposta

B · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
3.Estruturas de dados

Resposta: B · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

B · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

Porque é esta a resposta

Regras rubro-negras: os nós são vermelhos ou pretos, a raiz é preta, nós vermelhos têm filhos pretos e todos os caminhos têm a mesma altura negra, mantendo a altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Resposta

A · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: F

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 3
2. B (3): C: 8, D: 18, E: 10
3. C (8)
4. E (10): D: 17, F: 15
5. F (15)
6. D (17)

rodada 5

F

Resposta

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms