Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo de um algoritmo com a melhor entrada
  2. BO custo esperado sobre entradas aleatórias
  3. CO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
  4. DO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais duas coisas precisam ser mostradas para provar que um problema de decisão X é NP-completo?

  1. AX está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
  2. BX está em P, e X se reduz ao SAT
  3. CX não tem algoritmo polinomial, e X é decidível
  4. DX se reduz a um problema em P, e X está em NP
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o custo de inserir um elemento no meio de um array de n elementos?

  1. AO(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
  2. BO(1), porque o índice é conhecido
  3. CO(n²), porque cada elemento se move n vezes
  4. DO(log n), por causa da busca binária
4.Estruturas de dadosDifícil

Inserir uma chave em uma árvore AVL deixa a subárvore esquerda de um nó alta demais, e a nova chave foi para a subárvore esquerda do seu filho esquerdo (caso esquerda-esquerda). Qual correção é aplicada?

  1. ARecolorir o nó e o seu filho
  2. BUma rotação à esquerda no filho e depois uma à direita no nó
  3. CUma rotação simples à direita no nó desbalanceado
  4. DUma rotação simples à esquerda no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 3 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
6121261031018ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

D · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

A pertinência a NP mostra que X não é mais difícil que NP; a redução a partir de um problema NP-completo conhecido mostra que X é pelo menos tão difícil quanto todo NP.

Resposta

A · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados

Porque é esta a resposta

Todos os elementos depois do ponto de inserção se movem uma posição para a direita, o que leva tempo proporcional a n.

Resposta

A · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado

Porque é esta a resposta

No caso esquerda-esquerda, uma rotação à direita sobe o filho esquerdo e restaura o balanceamento; os casos em zigue-zague exigem rotação dupla.

Resposta

C · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 23

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 41 = 2(L + 10) − 2
L = 23

Resposta

L = 23

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 26

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 6
B (6): C: 18, D: 18, G: 9
G (9): D: 10, E: 17
D (10): E: 16
E (16): F: 26
C (18)
F (26)

Caminho mais curto

A → B → G → D → E → F
d(F) = 26

Resposta

d(F) = 26

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