Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Você ordena um array de n elementos uma vez e depois responde a k consultas de pertinência com busca binária. Qual é o custo total?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da parada mostra que:

  1. AAlguns programas rodam mais rápido em computadores mais rápidos, então a parada depende do hardware
  2. BLaços devem ser evitados
  3. CNenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
  4. DTodo programa acaba parando
3.Estruturas de dadosMédia

Em um min-heap binário armazenado em um array (índices começando em 0), os filhos do nó no índice i estão em:

  1. A2i + 1 e 2i + 2
  2. Bi + 1 e i + 2
  3. C2i e 2i + 1
  4. Di/2 e i/2 + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Um filtro de Bloom pode responder "este elemento está no conjunto?" com:

  1. APossíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
  2. BRespostas apenas para números
  3. CRespostas sempre exatas
  4. DPossíveis falsos negativos, mas nenhum falso positivo
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
13420657181617118ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n log n + k log n)

Porque é esta a resposta

Ordenar custa O(n log n) e cada consulta O(log n); isso supera k varreduras lineares (O(nk)) quando k é grande.

Resposta

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para

Porque é esta a resposta

Turing mostrou que o problema da parada é indecidível: supor que existe um decisor leva a uma contradição com um programa que faz o oposto.

Resposta

C · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 2i + 1 e 2i + 2

Porque é esta a resposta

Em arrays indexados a partir de 0, o filho esquerdo fica em 2i + 1, o filho direito em 2i + 2 e o pai em ⌊(i − 1)/2⌋.

Resposta

A · 2i + 1 e 2i + 2
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo

Porque é esta a resposta

Se algum bit de um item for 0, ele certamente não está presente; se todos forem 1, provavelmente está. Filtros de Bloom trocam precisão por um uso muito pequeno de memória.

Resposta

A · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vértices ímpares

A, B, C, D, E, F → 6
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 46

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AC (4): tomar
CE (5): tomar
BD (6): tomar
DE (7): tomar
GE (8): tomar
GD (11): descartar, fecha um ciclo
AB (13): descartar, fecha um ciclo
EF (16): tomar

Peso total

W = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 16 = 46

Resposta

W = 46

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