Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que muitas rotinas de ordenação de bibliotecas passam para o insertion sort em subarrays muito pequenos?

  1. AO insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
  2. BO insertion sort usa menos memória que qualquer outro algoritmo de ordenação em entradas grandes
  3. CO insertion sort é O(n log n) no pior caso
  4. DAlgoritmos recursivos não conseguem lidar com arrays de menos de 10 elementos
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como n! e 2ⁿ se comparam para n grande?

  1. An! cresce mais rápido que 2ⁿ
  2. Bn! é O(n²)
  3. CCrescem no mesmo ritmo
  4. D2ⁿ cresce mais rápido que n!
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva verificar se a aresta (u, v) existe usando uma matriz de adjacência?

  1. AO(log V)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.Estruturas de dadosDifícil

Um filtro de Bloom pode responder "este elemento está no conjunto?" com:

  1. APossíveis falsos negativos, mas nenhum falso positivo
  2. BRespostas sempre exatas
  3. CRespostas apenas para números
  4. DPossíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em E? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas

Porque é esta a resposta

Para n pequeno, o laço simples do insertion sort supera o overhead de recursão do quicksort ou do merge sort, embora seja O(n²).

Resposta

A · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · n! cresce mais rápido que 2ⁿ

Porque é esta a resposta

Para n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e a razão cresce sem limite porque cada fator extra de n! é maior que 2.

Resposta

A · n! cresce mais rápido que 2ⁿ
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(1)

Porque é esta a resposta

A entrada na linha u, coluna v da matriz diz imediatamente se a aresta existe; uma lista de adjacência pode precisar percorrer os vizinhos de u.

Resposta

B · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo

Porque é esta a resposta

Se algum bit de um item for 0, ele certamente não está presente; se todos forem 1, provavelmente está. Filtros de Bloom trocam precisão por um uso muito pequeno de memória.

Resposta

D · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, C, D, G → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 4

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

Resposta

N = 4

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