Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que significa um problema ter subestrutura ótima?

  1. AO problema tem exatamente uma solução ótima, compartilhada por todos os subproblemas
  2. BO problema pode ser resolvido em tempo constante
  3. CUma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
  4. DTodos os subproblemas têm o mesmo tamanho
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A multiplicação de Karatsuba satisfaz T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual é a solução?

  1. AΘ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Um percurso em ordem (in-order) de uma árvore binária de busca visita as chaves em:

  1. AOrdem de inserção
  2. BSempre ordem decrescente
  3. COrdem por nível
  4. DOrdem crescente
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que não se pode simplesmente remover elementos de um filtro de Bloom padrão zerando seus bits?

  1. AOs bits de um filtro de Bloom não podem ser alterados depois da criação
  2. BFiltros de Bloom armazenam os elementos completos, que não podem ser localizados de novo depois do hash
  3. CRemover aumentaria a taxa de falsos positivos para 100%
  4. DEsses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
151411313151182ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas

Porque é esta a resposta

A subestrutura ótima é necessária tanto para os algoritmos gulosos quanto para a programação dinâmica produzirem respostas corretas.

Resposta

C · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585

Porque é esta a resposta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, as folhas dominam pelo teorema mestre, superando o método escolar O(n²).

Resposta

A · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Ordem crescente

Porque é esta a resposta

Visitar a subárvore esquerda, depois o nó e depois a subárvore direita produz as chaves da BST em ordem.

Resposta

D · Ordem crescente
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos

Porque é esta a resposta

Zerar um bit compartilhado faria outro elemento parecer ausente; filtros de Bloom com contagem usam contadores em vez de bits para permitir a remoção.

Resposta

D · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, C, D, G → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 25

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 15, C: 14
C (14): E: 27
B (15): D: 28, E: 17
E (17): F: 25
F (25)
D (28)

Caminho mais curto

A → B → E → F
d(F) = 25

Resposta

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms