Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a base do logaritmo costuma ser omitida no O grande, como em O(log n)?

  1. ATodos os logaritmos em computação têm base 10, então ela fica implícita
  2. BOs logaritmos são sempre arredondados para inteiros
  3. CLogaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
  4. DA base só importa para n pequeno
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para mostrar que um novo problema X é NP-difícil, o que você precisa fazer?

  1. AMostrar que X não tem algoritmo polinomial para entradas pequenas
  2. BReduzir X a um problema NP-difícil conhecido em tempo polinomial
  3. CMostrar que X pode ser verificado em tempo polinomial
  4. DReduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o custo de inserir um elemento no meio de um array de n elementos?

  1. AO(log n), por causa da busca binária
  2. BO(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
  3. CO(1), porque o índice é conhecido
  4. DO(n²), porque cada elemento se move n vezes
4.Estruturas de dadosDifícil

No algoritmo de Kruskal para árvore geradora mínima, para que serve a estrutura union-find?

  1. AOrdenar as arestas por peso
  2. BVerificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
  3. CEscolher o vértice inicial
  4. DArmazenar durante a busca a distância atual de cada vértice até a origem
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 13 vértices e 17 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 13|E| = 17
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1410454111ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(E) do caminho mais curto de A até E no grafo ponderado.

início: Afim: E
d(E) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante

Porque é esta a resposta

Mudar a base multiplica o logaritmo por uma constante, e o O grande ignora fatores constantes.

Resposta

C · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Se um problema difícil conhecido pode ser transformado em X de forma eficiente, um algoritmo rápido para X também resolveria o problema conhecido.

Resposta

D · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados

Porque é esta a resposta

Todos os elementos depois do ponto de inserção se movem uma posição para a direita, o que leva tempo proporcional a n.

Resposta

B · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas

Porque é esta a resposta

O find diz se as duas extremidades estão no mesmo componente; se não estiverem, a aresta é adicionada e o union funde os componentes.

Resposta

B · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 5

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

13 − 1 = 12

Arestas a remover

k = 17 − 12 = 5

Resposta

k = 5
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(E) = 2

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 4
B (1): D: 5, E: 2
E (2): F: 13
C (4)
D (5)
F (13)

Caminho mais curto

A → B → E
d(E) = 2

Resposta

d(E) = 2

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