Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

  1. AA árvore geradora mínima
  2. BUma ordenação topológica em todos os grafos
  3. CCaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
  4. DCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o tempo de execução do algoritmo de Dijkstra com um heap binário num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V + E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o valor da expressão pós-fixa 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B11
  3. C24
  4. D10
4.Estruturas de dadosDifícil

Inserir uma chave em uma árvore AVL deixa a subárvore esquerda de um nó alta demais, e a nova chave foi para a subárvore esquerda do seu filho esquerdo (caso esquerda-esquerda). Qual correção é aplicada?

  1. ARecolorir o nó e o seu filho
  2. BUma rotação à esquerda no filho e depois uma à direita no nó
  3. CUma rotação simples à direita no nó desbalanceado
  4. DUma rotação simples à esquerda no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 16 vértices e 26 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 16|E| = 26
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
8610654434ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

C · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O((V + E) log V)

Porque é esta a resposta

Há V operações extract-min e até E operações decrease-key, cada uma O(log V); um heap de Fibonacci melhora isso para O(E + V log V).

Resposta

B · O((V + E) log V)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 14

Porque é esta a resposta

Empilhe 3 e 4, + dá 7; empilhe 2, * dá 7 × 2 = 14.

Resposta

A · 14
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado

Porque é esta a resposta

No caso esquerda-esquerda, uma rotação à direita sobe o filho esquerdo e restaura o balanceamento; os casos em zigue-zague exigem rotação dupla.

Resposta

C · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

16 − 1 = 15

Arestas a remover

k = 26 − 15 = 11

Resposta

k = 11
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 14

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 8, C: 6
C (6): E: 11
B (8): D: 14
E (11): F: 14
D (14)
F (14)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 14

Resposta

d(F) = 14

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