Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de programação dinâmica de Held–Karp resolve o problema do caixeiro-viajante de forma exata. Qual é o seu tempo de execução para n cidades?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n!)
3.Estruturas de dadosMédia

Você tem uma referência para um nó no meio de uma lista. Em qual lista é possível removê-lo em O(1)?

  1. AUma lista simplesmente encadeada
  2. BUm array dinâmico
  3. CUm array ordenado
  4. DUma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual afirmação sobre o heapsort está correta?

  1. AOrdena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
  2. BPrecisa de uma árvore binária de busca como armazenamento extra, então usa O(n) de memória adicional
  3. CRoda em tempo O(n) para qualquer entrada
  4. DÉ estável e precisa de O(n) de memória extra
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
11367811121111ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n²)

Porque é esta a resposta

O trabalho soma cerca de n² / 2; é a recorrência do selection sort ou do quicksort com o pior pivô.

Resposta

D · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n² 2ⁿ)

Porque é esta a resposta

Há cerca de n 2ⁿ estados, cada um calculado em O(n); isso é exponencial, mas muito mais rápido que testar todos os (n − 1)! percursos.

Resposta

A · O(n² 2ⁿ)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

Um nó duplamente encadeado conhece o predecessor, então dá para religar prev e next diretamente; uma lista simplesmente encadeada precisa procurar o predecessor.

Resposta

D · Uma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável

Porque é esta a resposta

O heapsort constrói um max-heap e extrai o máximo n vezes dentro do mesmo array; trocas a longas distâncias podem mudar a ordem de chaves iguais.

Resposta

A · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, G → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 1, C: 13
2. B (1): C: 7, D: 8
3. C (7): G: 19
4. D (8): E: 16
5. E (16): F: 27
6. G (19)
7. F (27)

rodada 4

D

Resposta

D

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