Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Num array ordenado, você procura dois elementos cuja soma seja um alvo movendo um ponteiro de cada extremidade para dentro. Qual é a complexidade de tempo?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como o algoritmo de Bellman–Ford detecta um ciclo de peso negativo alcançável a partir da origem?

  1. AConta os ciclos com busca em profundidade
  2. BApós V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
  3. CVerifica se alguma aresta tem peso negativo
  4. DExecuta o algoritmo de Dijkstra duas vezes e compara os dois resultados de distância
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva verificar se a aresta (u, v) existe usando uma matriz de adjacência?

  1. AO(E)
  2. BO(V)
  3. CO(log V)
  4. DO(1)
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de segmentos (segment tree) é normalmente usada para:

  1. AArmazenar as arestas de um grafo
  2. BImplementar uma pilha
  3. CResponder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
  4. DOrdenar strings alfabeticamente guardando cada prefixo em um nó separado da árvore
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
618824514124ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

Se a soma for pequena demais, o ponteiro da esquerda vai para a direita; se for grande demais, o da direita vai para a esquerda, então há no máximo n passos.

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada

Porque é esta a resposta

Todas as distâncias mínimas verdadeiras são encontradas em V − 1 rodadas; se uma aresta ainda puder ser melhorada, deve existir um ciclo negativo.

Resposta

B · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(1)

Porque é esta a resposta

A entrada na linha u, coluna v da matriz diz imediatamente se a aresta existe; uma lista de adjacência pode precisar percorrer os vizinhos de u.

Resposta

D · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)

Porque é esta a resposta

Uma árvore de segmentos armazena agregados de intervalos, permitindo consultas por intervalo e atualizações pontuais em tempo O(log n).

Resposta

C · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 2520

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Resposta

H = 2520
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 13

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 6, C: 1
C (1): E: 9, G: 15
B (6): G: 11
E (9): D: 11, F: 13
D (11)
G (11)
F (13)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 13

Resposta

d(F) = 13

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