Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
  2. BO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
  3. CO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
  4. DO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como o algoritmo de Bellman–Ford detecta um ciclo de peso negativo alcançável a partir da origem?

  1. AVerifica se alguma aresta tem peso negativo
  2. BApós V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
  3. CExecuta o algoritmo de Dijkstra duas vezes e compara os dois resultados de distância
  4. DConta os ciclos com busca em profundidade
3.Estruturas de dadosMédia

Como se encontra a menor chave em uma árvore binária de busca?

  1. AVisitando todas as folhas e comparando-as
  2. BOlhando apenas a raiz
  3. CSeguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
  4. DSeguindo os filhos direitos a partir da raiz até não haver filho direito
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual problema da sondagem linear o hashing duplo reduz principalmente?

  1. AO agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
  2. BO custo O(n) de ler o valor de uma chave
  3. CA necessidade de armazenar as chaves na tabela
  4. DA necessidade de uma função hash
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
729121421311010ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

A · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada

Porque é esta a resposta

Todas as distâncias mínimas verdadeiras são encontradas em V − 1 rodadas; se uma aresta ainda puder ser melhorada, deve existir um ciclo negativo.

Resposta

B · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda não tem chave menor na árvore, então é o mínimo; o custo é proporcional à altura.

Resposta

C · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas

Porque é esta a resposta

A sondagem linear avança de 1 em 1, então as sequências ocupadas crescem e se fundem; o hashing duplo usa um segundo hash para o tamanho do passo, de modo que chaves diferentes sondam sequências diferentes.

Resposta

A · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, C, F, G → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 22

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 7
B (7): C: 9, D: 16, G: 20
C (9): E: 21, G: 10
G (10): E: 20
D (16)
E (20): F: 22
F (22)

Caminho mais curto

A → B → C → G → E → F
d(F) = 22

Resposta

d(F) = 22

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