Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para mostrar que um novo problema X é NP-difícil, o que você precisa fazer?

  1. AReduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
  2. BMostrar que X não tem algoritmo polinomial para entradas pequenas
  3. CMostrar que X pode ser verificado em tempo polinomial
  4. DReduzir X a um problema NP-difícil conhecido em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Qual tipo abstrato de dados o algoritmo de Dijkstra usa para escolher o próximo vértice a processar?

  1. AUma pilha
  2. BUma fila FIFO
  3. CUm conjunto sem ordem
  4. DUma fila de prioridade mínima
4.Estruturas de dadosDifícil

Um filtro de Bloom pode responder "este elemento está no conjunto?" com:

  1. ARespostas apenas para números
  2. BPossíveis falsos negativos, mas nenhum falso positivo
  3. CPossíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
  4. DRespostas sempre exatas
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K6? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K6
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
15911368924ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Há n níveis com trabalho constante cada, como numa soma recursiva de um array.

Resposta

A · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Se um problema difícil conhecido pode ser transformado em X de forma eficiente, um algoritmo rápido para X também resolveria o problema conhecido.

Resposta

A · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma fila de prioridade mínima

Porque é esta a resposta

Uma fila de prioridade mínima, normalmente um heap binário, retorna de forma eficiente o vértice não visitado com a menor distância.

Resposta

D · Uma fila de prioridade mínima
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo

Porque é esta a resposta

Se algum bit de um item for 0, ele certamente não está presente; se todos forem 1, provavelmente está. Filtros de Bloom trocam precisão por um uso muito pequeno de memória.

Resposta

C · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 60

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Resposta

H = 60
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 16

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 15, C: 9
C (9): B: 10, E: 15
B (10): D: 23, E: 14
E (14): D: 22, F: 16
F (16)
D (22)

Caminho mais curto

A → C → B → E → F
d(F) = 16

Resposta

d(F) = 16

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