Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que o algoritmo de Floyd–Warshall calcula, e com que rapidez?

  1. ACaminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
  2. BCaminhos mínimos de um vértice de origem para todos os outros em O(V + E)
  3. CUma árvore geradora mínima em O(E log V)
  4. DUma ordenação topológica em O(V²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca binária não dá tempo O(log n) numa lista simplesmente encadeada?

  1. AA busca binária precisa de pelo menos o dobro da memória
  2. BAs comparações entre nós de lista encadeada são mais lentas
  3. CChegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
  4. DListas encadeadas não podem ser ordenadas
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. Di + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Para cada elemento de um array, você quer o próximo elemento maior à sua direita, em tempo total O(n). Qual estrutura ajuda?

  1. AUma árvore binária de busca reconstruída para cada elemento
  2. BUma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
  3. CUma fila que guarda todos os pares de elementos
  4. DUma tabela hash com todos os elementos
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 5, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
79410712411ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 6; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)

Porque é esta a resposta

Floyd–Warshall é um algoritmo de programação dinâmica que permite cada vértice, um de cada vez, como ponto intermediário, usando tempo O(V³).

Resposta

A · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice

Porque é esta a resposta

A busca binária precisa de acesso O(1) ao meio; numa lista encadeada, andar até lá custa tempo linear, então o total é O(n).

Resposta

C · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
3.Estruturas de dados

Resposta: A · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

A · (i + 1) mod n
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta

Porque é esta a resposta

Percorrendo da esquerda para a direita, desempilhe todo elemento menor que o atual (o atual é a resposta deles) e depois empilhe-o; cada elemento se move no máximo duas vezes.

Resposta

B · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 25

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 51 = 2(L + 14) − 2
L = 25

Resposta

L = 25

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 7
2. B (7): C: 16, D: 11, G: 9
3. G (9): E: 20
4. D (11): E: 18
5. C (16)
6. E (18): F: 19
7. F (19)

rodada 6

E

Resposta

E

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