Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Uma função executa um laço de n iterações e depois, separadamente, outro laço de n iterações. Qual é a sua complexidade de tempo?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre selecionar o k-ésimo menor elemento de um array não ordenado está correta?

  1. AA seleção sempre exige Ω(n log n), porque requer ordenação
  2. BO quickselect roda em O(log n) no pior caso, porque faz recursão em apenas um lado do pivô
  3. CA seleção só é possível em O(n²)
  4. DO quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
3.Estruturas de dadosMédia

Uma trie (árvore de prefixos) é especialmente eficiente para:

  1. AEncontrar caminhos mínimos
  2. BArmazenar matrizes
  3. COrdenar números
  4. DBuscas por prefixo, como o preenchimento automático
4.Estruturas de dadosDifícil

Um filtro de Bloom pode responder "este elemento está no conjunto?" com:

  1. ARespostas apenas para números
  2. BPossíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
  3. CRespostas sempre exatas
  4. DPossíveis falsos negativos, mas nenhum falso positivo
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K6? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K6
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
10412911415415ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n)

Porque é esta a resposta

n + n = 2n, e os fatores constantes são descartados, então a função é O(n).

Resposta

D · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso

Porque é esta a resposta

O trabalho esperado do quickselect é n + n/2 + n/4 + ... = O(n) com pivôs aleatórios; escolher o pivô como mediana das medianas torna o pior caso linear.

Resposta

D · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático

Porque é esta a resposta

Tries armazenam strings caractere por caractere ao longo de caminhos, então buscas e consultas por prefixo levam tempo proporcional ao tamanho da chave.

Resposta

D · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo

Porque é esta a resposta

Se algum bit de um item for 0, ele certamente não está presente; se todos forem 1, provavelmente está. Filtros de Bloom trocam precisão por um uso muito pequeno de memória.

Resposta

B · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 60

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Resposta

H = 60
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 19

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 10, C: 4
C (4): E: 15
B (10): D: 19
E (15): F: 19
D (19)
F (19)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 19

Resposta

d(F) = 19

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