Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que significa um problema ter subestrutura ótima?

  1. AO problema pode ser resolvido em tempo constante
  2. BTodos os subproblemas têm o mesmo tamanho
  3. CO problema tem exatamente uma solução ótima, compartilhada por todos os subproblemas
  4. DUma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como n! e 2ⁿ se comparam para n grande?

  1. An! cresce mais rápido que 2ⁿ
  2. BCrescem no mesmo ritmo
  3. Cn! é O(n²)
  4. D2ⁿ cresce mais rápido que n!
3.Estruturas de dadosMédia

As chaves 50, 30, 70, 20, 40 são inseridas nessa ordem em uma árvore binária de busca vazia. Qual é o filho esquerdo de 30?

  1. A40
  2. B50
  3. C70
  4. D20
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AGuarda só a primeira letra de cada palavra
  2. BArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
  3. CFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
  4. DOrdena os filhos de cada nó por frequência
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 12 vértices e 17 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
19736101312103ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas

Porque é esta a resposta

A subestrutura ótima é necessária tanto para os algoritmos gulosos quanto para a programação dinâmica produzirem respostas corretas.

Resposta

D · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · n! cresce mais rápido que 2ⁿ

Porque é esta a resposta

Para n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e a razão cresce sem limite porque cada fator extra de n! é maior que 2.

Resposta

A · n! cresce mais rápido que 2ⁿ
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 20

Porque é esta a resposta

20 é menor que 50 e menor que 30, então se torna o filho esquerdo de 30; 40 se torna o filho direito.

Resposta

D · 20
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

C · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

12 − 1 = 11

Arestas a remover

k = 17 − 11 = 6

Resposta

k = 6
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 17

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 9
B (1): C: 8, D: 4
D (4): E: 14, F: 17, G: 7
G (7)
C (8)
E (14)
F (17)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 17

Resposta

d(F) = 17

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