Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a programação dinâmica não traz ganho real de velocidade para o merge sort?

  1. AO merge sort não tem estrutura recursiva
  2. BA programação dinâmica só funciona em problemas de grafos, não em vetores
  3. CO merge sort já é O(n)
  4. DSeus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a diferença entre um problema indecidível e um intratável?

  1. AProblemas intratáveis não podem ser resolvidos por nenhum algoritmo, enquanto os indecidíveis só exigem tempo exponencial
  2. BNenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
  3. CProblemas indecidíveis estão em NP, enquanto os intratáveis estão em P
  4. DAmbos significam que o problema não tem nenhum algoritmo
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada para verificar se os parênteses em "{[()]}" estão balanceados?

  1. AUma tabela hash
  2. BUma pilha
  3. CUma fila
  4. DUma árvore binária de busca
4.Estruturas de dadosDifícil

Quais são os custos de tempo e de espaço extra para inverter no próprio lugar uma lista simplesmente encadeada?

  1. ATempo O(n log n) e espaço extra O(1)
  2. BTempo O(n) e espaço extra O(n)
  3. CTempo O(n) e espaço extra O(1)
  4. DTempo O(1) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
38121331254715ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar

Porque é esta a resposta

As metades do merge sort são disjuntas e cada uma é resolvida uma vez; a PD só ajuda quando os subproblemas se repetem, como no Fibonacci.

Resposta

D · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais

Porque é esta a resposta

O problema da parada não tem nenhum algoritmo; um problema NP-difícil como o TSP pode ser resolvido por força bruta, só que não em tempo polinomial conhecido.

Resposta

B · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma pilha

Porque é esta a resposta

Empilhe cada símbolo de abertura e desempilhe quando aparecer um de fechamento; ele deve corresponder ao desempilhado e a pilha deve estar vazia no final.

Resposta

B · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Tempo O(n) e espaço extra O(1)

Porque é esta a resposta

Manter três ponteiros (anterior, atual, próximo) permite inverter cada ligação em uma passada, sem alocar novos nós.

Resposta

C · Tempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices ímpares

C, D → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: C

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 3, C: 8
2. B (3): D: 16, G: 10
3. C (8): E: 11
4. G (10)
5. E (11): F: 15
6. F (15)
7. D (16)

rodada 3

C

Resposta

C

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