Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo amortizada de adicionar ao final de um array dinâmico que dobra sua capacidade quando fica cheio?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de Strassen multiplica matrizes usando 7, em vez de 8, multiplicações recursivas de blocos de metade do tamanho. Qual é o seu tempo de execução?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
3.Estruturas de dadosMédia

Uma árvore binária tem raiz 1 com filho esquerdo 2 e filho direito 3; o nó 2 tem filhos 4 (esquerdo) e 5 (direito). Qual é o percurso em pré-ordem?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 3 4 5
4.Estruturas de dadosDifícil

A estrutura union-find (conjuntos disjuntos) com união por posto e compressão de caminho tem custo amortizado por operação de:

  1. AO(n)
  2. BExatamente O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1120154581ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice C. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2.

início: Ck = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(1)

Porque é esta a resposta

A cópia de todos os elementos só acontece em potências de dois; distribuído entre todas as inserções, o custo médio por inserção é constante.

Resposta

D · O(1)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81

Porque é esta a resposta

Com a = 7 e b = 2, nlog₂ 7 domina o trabalho O(n²) das adições, o que dá cerca de n2,81.

Resposta

D · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 1 2 4 5 3

Porque é esta a resposta

A pré-ordem visita 1, depois a subárvore esquerda (2, 4, 5), depois 3; as outras opções são em ordem, pós-ordem e por níveis.

Resposta

A · 1 2 4 5 3
4.Estruturas de dados

Resposta: D · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante

Porque é esta a resposta

Com as duas otimizações, as operações levam tempo amortizado O(α(n)); α(n) ≤ 4 para qualquer n realista.

Resposta

D · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices ímpares

C, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. CE (5)
2. BE (1)
3. BD (4)
4. AB (11)

número da aresta 2

BE

Resposta

aresta BE

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